Toán học và Âm nhạc

Mối liên hệ nào giữa toán học và âm nhạc?

Chúng tôi quyết định tạo chủ đề này để cho thấy Toán học có liên quan đến Âm nhạc, bởi vì nhiều người bỏ qua thực tế là có Toán học trong Âm nhạc. Có thể bạn không thích Toán, nhưng đừng lo, chúng tôi sẽ cố gắng giải thích từng khái niệm một cách đơn giản, bạn chỉ cần biết rằng sự nhạy cảm đối với âm thanh được kết nối một cách logic trong bộ não của chúng ta. Điều này thực sự thú vị, vì vậy hãy để định kiến của bạn sang một bên. Tất cả các kiến thức đều lý thú và hữu ích.

Trước khi đi đến chủ đề Toán học trong Âm nhạc, hãy nhớ lại một số khái niệm cơ bản.

Vật lý trong âm nhạc

Như chúng ta đã biết, âm thanh là dạng sóng và tần số của âm thanh là yếu tố để xác định nốt nhạc. Nhưng tần số là gì? Đó là sự lặp lại. Hãy tưởng tượng, ví dụ một bánh xe đạp quay, nếu bánh xe hoàn thành một vòng trong 1 giây, chúng ta nói rằng tần số của bánh xe này là “một vòng mỗi giây”, hoặc “một Hertz”. Hertz chỉ là một tên đại diện cho một đơn vị tần số, và thường được viết tắt là “Hz”. Nếu bánh xe này trong ví dụ của chúng ta hoàn thành 10 lượt mỗi giây, tần số của nó sẽ là 10 Hertz (10 Hz).

Rất hay, nhưng nó liên quan đến âm thanh ở chỗ nào? Vâng, âm thanh là một làn sóng, và sóng này dao động ở một tần số nhất định. Nếu một sóng âm thanh hoàn thành một dao động trong một giây, tần số của nó sẽ là 1 Hz. Nếu nó hoàn thành 10 dao động trong một giây, tần số của nó sẽ là 10 Hz. Đối với mỗi tần số, chúng tôi sẽ có một âm thanh khác nhau (cho các nốt nhạc khác nhau). Ví dụ, nốt La (A) tương ứng với tần số 440 Hz.

Toán học trong âm nhạc

Và Toán học đi vào đâu trong Âm nhạc? Người ta quan sát thấy rằng khi một tần số được nhân với 2, kết quả vẫn cùng một nốt. Ví dụ, A (440 Hz) nhân với 2 = 880 Hz cũng vẫn là A, nhưng ở một octave (quãng tám ) cao hơn. Nếu mục tiêu là để hạ thấp xuống một quãng tám, chỉ cần chia cho 2. Chúng ta có thể kết luận như sau, một nốt và nốt tương ứng của nó có một mối quan hệ với ½.

Rất tốt, trước khi tiếp tục, hãy trở về quá khứ đến Hy Lạp cổ đại. Trong thời gian đó, có một người đàn ông tên là Pythagoras đã thực hiện những khám phá thực sự quan trọng đối với Toán học (và Âm nhạc). Điều mà chúng tôi đã cho thấy về quãng tám, ông phát hiện ra việc “chơi” với một sợi dây được kéo căng. Hãy tưởng tượng một sợi dây được kéo căng buộc chặt ở hai đầu. Khi chúng ta chạm vào sợi dây, nó rung lên(nhìn hình vẽ bên dưới):

Pythagoras quyết định chia sợi dây này thành hai phần và chạm vào từng phần một lần nữa. Âm thanh được tạo ra giống nhau, nhưng chói hơn (bởi vì nó giống như một nốt nhạc cao hơn một quãng tám):

Pythagoras không dừng ở đó. Ông quyết định trải nghiệm nó sẽ như thế nào nếu sợi dây được chia thành 3 phần:

Ông nhận thấy một âm thanh mới xuất hiện. Khác với kết quả lần trước, lần này, nó không phải là một nốt tương tự một quãng tám ở trên mà là một nốt khác, gợi ý là sẽ nhận được một cái tên mới. Âm thanh mới này, bên cạnh sự khác biệt, kết hợp tốt với âm thanh được tạo ra trước đó, tạo ra sự hài hòa dễ chịu cho đôi tai. Bởi vì những phép chia này cho thấy ở đây có mối quan hệ Toán học 1/2 và 2/3 (bộ não của chúng ta thích các mối quan hệ logic được xác định rõ ràng).

Cứ như vậy, ông tiếp tục làm các phép chia và kết hợp các âm thanh theo các nguyên lý toán học để tạo ra các cung bậc trong thang âm, sau đó, ông khuyến khích việc tạo ra các nhạc cụ có thể chơi trên thang âm này. Ví dụ về quãng tam cung (tritone), thu được trong mối quan hệ tỉ lệ 32/45, một mối quan hệ tỉ lệ phức tạp và thiếu chính xác, yếu tố làm cho bộ não của chúng ta xem xét âm thanh này không ổn định và gây căng thẳng. Theo chiều hướng đó, các nốt nhạc đã dần nhận được những cái tên mà chúng ta biết như ngày nay.

Toán học và thang âm

Nhiều dân tộc và các nền văn hóa khác nhau đã tạo ra các thang âm của riêng họ. Một ví dụ là người Trung Quốc, bắt đầu với ý tưởng của Pythagoras (sử dụng dây).

Họ chơi nốt C bằng cách căng sợi dây và sau đó chia sợi dây này thành 3 phần, như chúng tôi đã trình bày trước đây. Kết quả của phép chia này là nốt G. Nhận thấy rằng những nốt nhạc này có sự hài hòa, họ lặp lại quy trình bắt đầu từ G, chia lại sợi dây này thành 3 phần, kết quả là nốt D. Nốt này có sự hài hòa dễ chịu với G và cũng như với C. Quy trình này sau đó được lặp lại bắt đầu từ D, kết quả là A. Sau đó, bắt đầu từ A, họ nhận được E.

Khi họ lặp lại quy trình chia sợi dây này thành ba phần một lần nữa, kết quả là B. Đã xảy ra sự cố ở đây, vì B không phù hợp khi chơi với C (nốt đầu tiên của thử nghiệm). Trên thực tế, những nốt này rất gần nhau, nhưng điều gì gây ra một “âm thanh khó chịu”.

Bởi vì điều này, người Trung Quốc đã hoàn thành các phép chia của họ và kết quả là nhận được các nốt nhạc C, G, D, A và E, để B sang một bên. Những nốt này được dùng làm cơ sở cho Âm nhạc Trung Hoa, tạo ra thang âm với 5 nốt nhạc (Ngũ Cung). Thang âm Ngũ cung này, vì sự dễ chịu và hài hòa, thể hiện rất tốt Văn hóa Phương Đông, luôn được kết hợp hài hòa và ổn định.

Kể từ khi được tạo ra cho đến ngày hôm nay, thang âm Ngũ cung mang đến một lựa chọn tốt cho việc thể hiện giai điệu, như chúng tôi đã nói trong chủ đề “Thang âm Ngũ cung”. Nhưng hãy quay trở lại chủ đề các nốt và tần số, bởi vì chúng tôi chỉ biểu thị 5 nốt của thang âm.

Toán học trong 12 nốt nhạc

Âm nhạc phương Tây, hoạt động với 12 nốt nhạc, không loại bỏ nốt B như Âm nhạc phương Đông. Những người phương Tây quan sát thấy rằng các nốt C và B gần gũi với nhau và quyết định tạo ra một thang âm toàn diện hơn. Trong thang âm này, tất cả các nốt phải cách nhau cùng khoảng cách. Và khoảng cách này phải là quãng âm giữa C và B (một bán cung – semitone). Nói cách khác, ví dụ giữa C và D, nên có một nốt trung gian, bởi vì khoảng cách giữa C và D (một cung) lớn hơn khoảng cách của C và B (một bán cung – semitone). Thông qua phân tích tần số, người ta phát hiện rằng thực hiện phép nhân tần số của nốt B với số 1.0595 chúng ta sẽ có tần số của nốt C. Kiểm tra:

Tần số B: 246,9 Hz

Tần số C: 261,6 Hz

Nhân tần số B với 1,0595 chúng ta sẽ có: 246,9 x 1,0595 = 261,6 Hz (nốt C).

Vì mục đích là giữ mối liên hệ chung (khoảng cách) với các nốt khác, chúng ta sẽ sử dụng quy trình này để khám phá nốt nào sẽ đến sau C.

Nhân tần số C với 1,0595: 261,6 x 1,0595 = 277,2 Hz (nốt C#)

Lặp lại quy trình này để xem điều gì xảy ra sau nốt C#: 277,2 x 1,0595 = 293,6 Hz (nốt D)

Lưu ý rằng theo logic này, chúng ta có thể tạo ra tất cả các bậc trong thang âm nửa cung! Nói cách khác, sau khi nhân tần số C với số “1,0595” mười hai lần, chúng ta sẽ trở lại C. Điều này là có thể bởi vì “1,0595” tương ứng với kết quả của căn bậc mười hai của 2, 12√2. Lưu ý rằng 12√2 nhân 12 lần cho chính nó là (12√2) 12 = 2. Và chúng ta đã thấy rằng (tần số) một nốt nhân với 2 bằng chính nó nhưng nằm trong quãng tám ở trên.

Bây giờ chúng ta có thể thấy rõ rằng những con số này không đến một cách tình cờ. Mục tiêu ngay từ đầu đã chia thang âm thành 12 phần giống hệt nhau, theo cách mà nốt cuối cùng trở lại là nốt đầu tiên.

Đại loại như vậy mà Thang 12 âm Bình quân luật (Equal temprate scale) xuất hiện, còn được gọi là Chromatic.

Logarithm trong âm nhạc

Chúng tôi sẽ không đi vào nhiều chi tiết, nhưng những người biết một chút về Toán có thể nhận thấy rằng công việc của chúng tôi ở đây với sự góp mặt của lôgarit cơ số 2. Chính vì điều này mà các nhà sản xuất đàn piano đặt hình thức đồ họa logarit vào hình dáng thân đàn piano, để tham chiếu với những ứng dụng của Khám phá Toán học và Âm nhạc. Kiểm tra nó:

Ví dụ về đồ họa Logarit:

Thân đàn piano:

Có rất nhiều giải thích Toán học khác cho nhiều câu hỏi về Âm nhạc, nhưng để trình bày ở đây sẽ cần phải nói đến các chủ đề nâng cao trong Toán học, giống như Fourier series, Riemann Zeta Function…v.v. Rất ít người trong chúng ta có cơ sở Toán học này nên chúng tôi sẽ không đi sâu hơn.

Mục tiêu của chúng ta ở đây là để thấy Âm nhạc hoạt động như thế nào và cách hiểu được các mối quan hệ logic trong bộ não của chúng ta, chúng tạo ra sự bình yên hay căng thẳng. Rõ ràng, chúng tôi đã chứng minh tất cả mọi thứ bằng cách sử dụng những số liệu xấp xỉ (số vòng), bởi vì phân tích chính xác hơn sẽ gây nhàm chán với đa số độc giả.

Không cần thiết phải ghi nhớ tất cả những gì chúng tôi đã nói trong chủ đề này. Chỉ cần nghĩ rằng Âm nhạc không đến từ đâu cả. Âm nhạc là kết quả của việc tổ chức số học. Việc giải thích tất cả những điều này được thực hiện bởi bộ não tuyệt vời và bí ẩn của chúng ta.

Kết luận cuối cùng là, nếu bạn là một nhạc sĩ, thì bạn cũng là (theo cách này hay cách khác) nhà toán học, bởi vì những cảm xúc thích thú mà bạn cảm thấy trong khi nghe nhạc ẩn chứa những phép toán cao siêu. Bộ não của bạn thích tính toán, nó là một cỗ máy tính! Bạn càng luyện tập, nghiên cứu và biết nhiều hơn về Âm nhạc, càng có nhiều khả năng được phát triển. Có lẽ bạn sẽ bắt đầu cảm thấy thích thú khi nghe những bài hát cũ mà trước đó không mang lại cảm giác tuyệt vời cho bạn. Chúng ta có thể so sánh điều này với một sinh viên Vật lý trong học kỳ đầu tiên. Nếu anh ta đọc một cuốn sách Vật lý hiện đại, nó sẽ giống như đọc tiếng Hy Lạp với anh ta. Nó sẽ không cho anh ta bất kỳ niềm vui nào. Nhưng một vài năm sau đó, khi anh ta đã có một cơ sở Toán học tốt và phải đối mặt với cuốn sách này một lần nữa, có lẽ anh ta sẽ yêu thích chủ đề và ước muốn dành phần còn lại của cuộc đời mình cho nó.

(HNS)